Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben ja beim letzten Mal die Zustandsraumdarstellung und dann auch

die physikalische Darstellungsunz angeschaut und hatten, dann gehen wir nochmal zurück,

hier diese Übersichtsbeschreibung sozusagen gesehen, dass man diese Fundamentalmatrix darstellen kann

über die Eigenwerte und die Eigenmoden oder Eigenvektoren, also über diese Modalmatrix,

also über diese Matrix-Exponentialfunktion ausrechnen kann und vor allem, dass man das

System, wie man sagt, modal entkoppeln kann, also indem ich von vorne und hinten ran multipliziere

mit der Modalmatrix, ich mein System auch sozusagen zerlegen kann in eine Reihe entkoppelter Einmassen-Schwinger.

Insbesondere in der mechanischen Darstellung hatten wir das sozusagen gesehen, da kam direkt diese

richtige Gleichung sozusagen raus, halt jetzt nicht mit der Masse des Einmassen, sondern stand halt die

modale Masse und die modale Dämpfung und die modale Steifigkeit an der Stelle und ich bin aber nichts,

desto trotz komme ich raus auf einer Darstellung, die so aussieht. Im Prinzip kann ich mich,

wenn ich diese modale Entkopplung jetzt also gemacht habe, auch für einen Mehrmassen-Schwinger,

mich zurückziehen auf die Behandlung des Einmassen-Schwingers und genau das wollen

wir jetzt im Folgenden tun, das heißt wir werden jetzt relativ ausführlich bis zum Erbrechen sozusagen

die Einmassen-Schwinger diskutieren, alles was sozusagen diese Differential-Gleichung hergibt,

also wir haben da MY2 gepunktet plus DY Punkt plus CY Gleich Null, beziehungsweise wenn ich das durch

M Teile also normiere, bekomme ich da halt diese abklingkonstante Delta und die Eigenkreisfrequenz

der ungedämpften Schwingung mit Omega Null als Wurzel C durch M, beziehungsweise das Delta als D

durch 2 M. Das ist die, dieser allgemeine Gleichungstyp für lineare Schwinger mit einem

Freiheitsgrad, wobei dieser Freiheitsgrad, also wenn es ein echter Einmassen-Schwinger wäre,

ein physikalischer Freiheitsgrad ist oder in der modalen Darstellung ein modaler Freiheitsgrad,

also eine von diesen Y-Dach Komponenten, das würde genauso aussehen. Ganz allgemein wollen wir zulassen,

jetzt wenn wir die Lösung diskutieren, dass sowohl das Delta als auch das Omega Quadrat,

also die Eigenkreisfrequenz zum Quadrat aus R sein kann, also auch negative Werte annehmen kann,

das heißt, Delta und Omega Quadrat könnten auch kleiner Null sein. Für die Dämpfung heißt das,

ich habe negative Dämpfung, diese abklingkonstante wird dann sozusagen zu einer Aufklingkonstanten

in der Lösung, das heißt, die Schwingung, wenn es dann eine Schwingung gibt, wird in der Amplitude,

nimmt die nicht ab, sondern wird kleiner, da gibt es Fälle, wo das passieren kann. Sowas

kann man konstruieren, das kann man tatsächlich auch physikalisch mit Aufwand realisieren,

das ist ein System, das sich so verhält, aber auch Omega Null Quadrat kann kleiner Null sein,

das wäre dann, wenn ich eine negative Steifigkeit habe, da hatten wir als Beispiel ganz am Anfang

mal dieses umfallende Pendel, also wenn ich sozusagen ein senkrecht stehendes Pendel nehme,

linearisiere die Bewegungsgleichung um den oberen Gleichgewichtszustand, der instabil ist,

aber dann bekomme ich auch dieselbe Differentialgleichung raus, aber mit einem negativen C sozusagen,

ich habe keine rückstellende Kraft, sondern die Gewichtskraft bringt das Ding nicht in die

Gleichgewichtslage zurück, sondern bewegt es raus aus der Gleichgewichtslage, also eine Feder,

die falsch herumwirkt, das heißt, das soll auch mit zulässig sein, also wir wollen diese Fälle

mitdiskutieren, auch wenn die in der Praxis natürlich eher exotisch sind. Okay, also damit

wollen wir uns mit diesem System jetzt beschäftigen und wir haben das schon mal uns angeschaut,

man macht also den üblichen Ansatz, ich mache für Y von T C mal E hoch Lambda T, wenn ich das

einsetze, bekomme ich da diese quadratische Gleichung für Lambda heraus, Lambda Quadrat plus 2 Delta

Lambda plus Omega Null Quadrat mal C E hoch Lambda T, man sucht Lösungen für C ungleich Null,

denn C gleich Null ist die triviale Lösung, das heißt, das Ding bewegt sich gar nicht,

Y von T ist Null, gut, das ist die Ruhe Lage, ist okay, interessiert einen aber nicht wirklich,

sondern man sucht halt Fälle, wo das ungleich Null sein kann, das C, das bedeutet aber,

dass da vorne die Klammer verschwinden muss, dann bekomme ich diese quadratische Gleichung für Lambda,

die kann ich durch die Lösungsformel da auswerten und bekomme meine beiden Lösungen, Lambda 1 2

ist minus Delta plus Minus Bozel Delta Quadrat minus Omega Null Quadrat. So, und jetzt hängt

es halt davon ab, wie Delta Quadrat und Omega Null Quadrat aussehen im Verhältnis zueinander,